Galileu e a Roda de Aristóteles

No livro de Mecânica, atribuído a Aristóteles (IV séc. a.C.), vem descrito o seguinte paradoxo (dito da “roda de Aristóteles”):

  

A roda de raio OP roda sobre a recta PP’ sem escorregar. O ponto P volta a estar sobre a recta, na posição P’, ao fim de uma volta completa da roda. Entretanto, se considerarmos no interior da roda um círculo de raio OQ, menor do que OP, o círculo mais pequeno também dá uma volta completa, com a mesma velocidade angular. Ao fim dessa volta, o ponto Q ocupará a posição Q’. O segmento PP’ representa o perímetro do círculo de raio OP, e o segmento QQ’ parece representar também o perímetro do círculo de raio menor OQ. Como é isto possível?

1. Reflicta um pouco sobre esta situação, antes de ler os pontos seguintes, e tente encontrar uma explicação para a aparente contradição.

2. Herão (III séc. a.D.) (ou Heron) de Alexandria tentou dar uma explicação para este “ paradoxo”, no seu livro Mecânica. Segundo ele, quando o círculo maior roda sobre PP’, o círculo menor mantém a mesma velocidade que o maior porque tem dois movimentos; com efeito, se considerarmos o círculo pequeno simplesmente ligado ao primeiro, e não rolando, o seu centro deslocar-se-á a mesma distância PP’; ou seja, o círculo maior levará consigo o círculo pequeno ao longo da mesma distância, não tendo o rolamento do mais pequeno qualquer influência neste facto.
Reflicta sobre este comentário de Herão. Parece-lhe que ajuda a compreender melhor a questão? Porquê?

3. No tratado As duas novas ciências (sobre a dinâmica e a resistência de materiais) Galileu (1564-1642) interroga-se, no primeiro capítulo, sobre a coesão da matéria e avança uma hipótese explicativa: poderia haver na matéria, mesmo de extensão limitada, um número infinitamente grande de vazios; seriam esses vazios que manteriam os “átomos” ligados uns aos outros. Para apoio da sua argumentação, Galileu apresenta uma explicação do “paradoxo da roda”. Em vez de um círculo, imagina um polígono (por exemplo, um hexágono) a rolar, e outro hexágono mais pequeno concêntrico e solidário com o primeiro. Estuda o que acontece neste caso e depois considera que a circunferência é um polígono com um número infinito de lados. E a partir daí, chega a uma conclusão...

Tente recriar a explicação de Galileu a partir do desenho seguinte:

   

Fonte: http://www.apm.pt/apm/foco98/activ6.html

Viagem a Lua

Dobre ao meio uma folha de papel A4. Depois dobre novamente, e siga dobrando ao meio enquanto puder. Vai ficando um retângulo cada vez menor, mas de espessura cada vez maior. Com isso, em certo momento será difícil fazer a próxima dobra. A sétima dobra já é praticamente impossível. Mas imagine que você tivesse uma folha que pudesse ser dobrada sem dificuldades quantas vezes você desejasse. E se quiséssemos que esta folha dobrada alcançasse a Lua? Quantas dobras seriam necessárias para que a espessura final fosse maior que os quase 400 mil km que separam a Terra da Lua? Um milhão? Não. Bastaria dobrar 42 vezes. E com 43 dobras você teria a ida e a volta da Lua. Não acredita? Em calculadora, insira 0,1 e vá multiplicando por 2 quarenta e duas vezes. Lembre-se de converter de mm para km. Com a matemática e uma boa dose de imaginação, uma folha de papel pode levá-lo até a Lua!

Vamos Fazer as Contas...

Temos os seguintes dados:

Espessura da folha de papel: 0,1 milímetros; Distância da Terra à Lua: 384.405 km.

Você pode colocar na sua calculadora 0,1 (milímetros) e multiplicar por 2 quarenta e duas vezes. Vai obter 438.904.651.110,4 (milímetros), o que equivale a mais de 400 mil quilômetros.

Mas vamos chegar a este número efetuando menos operações. Precisamos calcular

0,1 x 2 x 2 x 2 x ... x 2 x 2

onde multiplicamos por 2 quarenta e duas vezes, isto é, queremos descobrir quanto é 0,1 x 242.

Veja:

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.

Para encontrar 210 podemos observar que

210 = 25 x 25 = 32 x 32 = 1.024.

Da mesma forma, podemos calcular 240 fazendo:

240 = 210 x 210 x 210 x 210 = 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 = 1.099.511.627.776.

Finalmente, para obter 242 basta multiplicar este último número por dois mais duas vezes:

1.099.511.627.776 x 2 x 2 = 4.389.046.511.104.

Então, multiplicando 0,1 mm por 242 obtemos 438.904.651.110,4 milímetros, o que equivale a 438.904.651,1104 metros ou, ainda, 438.904,6511104 quilômetros, mais que 400 mil quilômetros! Se dobrar uma vez mais, teremos quilômetros suficientes para ir e voltar da Lua! Incrível, não é?


Fonte: http://www.uff.br/sintoniamatematica/curiosidadesmatematicas/curiosidadesmatematicas-html/audio-lua-br.html

Sequência de Fibonacci

Fibonacci ou Leonardo de Pisa (1170-1250), um famoso matemático italiano, criou a sequência que leva seu nome a partir da observação do crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem a quantidade de casais em uma população de coelhos após n meses, partindo dos seguintes pressupostos:

1. No primeiro mês nasce somente um casal;
2. Casais amadurecem sexualmente após o segundo mês de vida;
3. Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
4. Todos os meses, cada casal dá à luz a um novo casal;
5. Os coelhos nunca morrem;

Com essas condições, inicia-se a construção da sequência:

No 1º mês há apenas 1 casal de coelhos. Como a maturidade sexual dos coelhos dá-se somente a partir do segundo mês de vida, no mês seguinte continua havendo apenas 1 casal. No 3º mês teremos o nascimento de mais um casal, totalizando 2 casais. No 4º mês, com o nascimento de mais um casal, gerado pelo casal inicial, (visto que o segundo ainda não amadureceu sexualmente ) teremos 3 casais. No mês seguinte (5º), com nascimento de dois novos casais gerados pelo casal 1 e pelo casal 2, totalizam-se 5 casais.

 Seguindo essa lógica e as condições estabelecidas previamente por Fibonacci temos a sequência:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
 

Ela representa a quantidade de casais de coelhos mês a mês. Observando com mais cuidado, pode-se perceber que qualquer termo posterior dessa sequência é obtido adicionando os dois termos anteriores. Vejamos:

O 6º termo da sequência é 8. Somando os dois termos anteriores 5+3 =8.

Assim, 89 é o termo que virá após 55, pois 34+55=89.

Dessa forma, para determinar o próximo basta fazer 89 + 55 = 144, e assim por diante.

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/sequencia-fibonacci.htm

Número de ouro

O Número de Ouro ou Razão Áurea é um número irracional misterioso e enigmático que aparece numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada, por muitos, como uma “oferta de Deus ao mundo”. 

Os gregos foram os primeiros  a estudar o Número de Ouro. Ao observarem os modelos matemáticos e as relações numéricas presentes na música, na natureza e na estética perceberam que havia um valor recorrente que garantia a harmonia nesses elementos. Assim, constataram que, ao dividir um segmento de reta, entre as várias formas de fazê-lo, a Razão Áurea parecia a mais harmoniosa.

Muitas das construções antigas eram feitas utilizando a razão áurea, como o Paternon, na Grécia e as pirâmides no Egito.

Alguns artistas como Leonardo da Vinci utilizavam a razão áurea em suas obras.

 Vários matemáticos dedicaram seu tempo ao estudo do número de ouro e da razão áurea, como Fibonacci.

 No artigo Número de Ouro podemos encontrar a história do número de ouro, bem como suas aplicações na natureza.





Fontes:
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/numeros_ouro/numeros_ouro.html

O cubo mágico pode ser resolvido em 20 movimentos - ou menos

Segundo pesquisadores que usaram os computadores da Google para fazer os cálculos (eles usaram o equivalente a 35 anos de cálculos de CPU), todas as configurações possíveis do Cubo Mágico podem ser resolvidas em 20 movimentos ou menos.

Se você não sabe, o Cubo Mágico pode ter 43,252,003,274,489,856,000 posições e cada uma delas, em teoria, poderia ser resolvida com 20 “torcidas”.

Os cientistas já chamaram o número de movimentos para resolver o Cubo Mágico de “Número Divino”. Em 1981 o boato era que o número mínimo de movimentos era 52. Em 2005, o número caiu para 28. E agora um computador consegue resolver, em 20 segundos, qualquer configuração do cubo com, no máximo, 20 movimentos.

Para os aficionados por matemática, o algorismo usado pelo computador para fazer os cálculos é incrível. Para o resto de nós, mortais, resta saber que mexemos no Cubo umas 400 vezes a mais do que o computador sem nem completar um lado inteiro.

 

No site Montar Cubo Mágico encontram-se várias dicas para montar este cubo.

Fonte: http://hypescience.com/o-cubo-magico-pode-ser-resolvido-com-20-movimentos-%e2%80%93-ou-menos/

Você sabe qual é o maior número primo já conhecido?

O maior número primo conhecido é 2^32.582.657-1, que tem 9.808.358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e sua equipe. Este primo tem 650.000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em dezembro de 2005.

Matemático resolve problema centenário e recusa US$ 1 milhão

Um gênio russo ganhou um dos maiores prêmios mundiais de matemática ao resolver um dos sete "problemas do milênio". Grigory Perelman, 40 anos, levou 10 anos para resolver a conjectura de Poincare, que descreve o formato do universo e intriga especialista há pelo menos 100 anos.

Perelman, que divide o aluguel de US$ 74 com a mãe e está desempregado desde dezembro, recusou o prêmio de US$ 1 milhão a ser entregue pelo próprio rei da Espanha e alega que não fez nada de extraordinário.

 

 

"Eu não acho que eu seja de interesse público", disse o matemático ao London Telegraph. "Eu não falo isso por causa da minha privacidade, não tenho nada a esconder. Só acho que o público não deve se interessar por mim. Jornais deveriam ter mais discernimento sobre o que publicar, deveriam ter mais requinte. Até onde eu sei, não ofereço nada que acrescente à vida dos leitores", completou.

Depois de 10 anos de trabalho, o modesto Perelman, ao invés de publicar seu achado em um importante jornal, jogou tudo em uma página da Internet, para que todos tenham acesso. "Se alguém tiver interesse na solução do problema, está tudo lá. Deixe-os pesquisar livremente."

Perelman vive recluso em São Petersburgo e mantém-se afastado da mídia. "Publiquei meus achados. É isto que ofereço ao público."




A solução do problema pode ser vista nos sites http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159, http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 e http://arxiv.org/abs/math.DG/0307245. Devido ao tráfego intenso, pode haver instabilidade no acesso aos links.


Fonte: http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI1102865-EI238,00.html

de: 22 de agosto de 2006

Mapa conceitual sobre Função Quadrática

Na aula de hoje construímos, em duplas, um mapa conceitual sobre o tema de nosso estágio Função Quadrática. Esta construção foi feita através do software Cmap Tools, conhecido na aula anterior. Seguew abaixo o mapa criado por mim e pela Fernanda

Cmap Tools

Faltei na aula de hoje, mas sei que foi trabalhado com o software Cmap Tools, onde foi feito o mapa conceitual criado na aula anterior em sala de aula. Segue abaixo o nosso mapa conceitual:

Mapas Conceituais

Na aula de hoje tivemos o primeiro contato com mapas conceituais, a professora nos explicou sobre o tema: para que serve, como criar um mapa...
Em seguida demos início à construção de nosso primeiro mapa conceitual, sobre o tema "A importância do uso das tecnologias nas aulas de Matemática". Primeiro escolhemos algumas palavras que seriam os conceitos utilizados com toda a turma. E logo depois partimos para a construção, a qual fizemos em duplas.

Formalização de Conteúdo

Exercícios 1ª A - Zeros e Vertice

Exercícios sobre vértice e zeros da função quadrática

Mais um exercício, vejam que neste caso não possuo zeros da minha função pois b²-4ac<0, mas possuo mesmo assim o ponto de vertice da minha parábola.

Dedução das Fórmulas das coordenadas do ponto de vertice (x;y)

Aqui está a dedução da Fórmula da coordenada x do ponto do vértice

Coordenada y:

Exercícios Resolvidos - 1ª Série A

Mais um exemplo pra vocês verem. Se faz da mesma forma...

f(x) = -2x²

x	f(x) = y
-2	-8
-1	-2
-1/2	-1/2
0	0
1/2	-1/2
1	-2
2	-8

Exercícios Resolvidos - 1ª Série A

Exercício número 1:

Agora, construa o gráfico das funções quadráticas abaixo, fazendo primeiro uma tabela para os valores de x e f(x).

É só aplicar valores de x na função, que encontrará os valores de f(x) ou y, pois f(x) = y, f(x) é a mesmo coisa que y.
Em seguida você marca a coordenada x e a coordenada f(x) no gráfico por exemplo da primeira linha da tabela, meu ponto ficará (-2,-5) ai eu marco no gráfico esse ponto. Depois é só marcar os outros pontos e interliga-los, lembrando que não deve-se interliga-los fazendo retas entre um e outro e sim deve formar uma parábola.
f(x)= -x² +2x +3

x	f(x)
-2	-5
-1	0
0	3
1	4
2	3
3	0
4	-5

Avaliação

Na aula de hoje fizemos uma prova escrita sobre os conteúdos apresentados nos seminários.







http://filosofialimite.blogspot.com/2010/11/consulta-local-da-prova-ofa-2011.html

Apresentação

Na aula de hoje houve a apresentação das colegas Kelin e Leila que falaram sobre o texto O MITO DA TELINHA - O PARADOXO DO FASCÍNIO DA EDUCAÇÃO MEDIADA PELO COMPUTADOR.

Em seguida foi a minha vez e da Fernanda apresentarem sobre o texto POR QUÊ O COMPUTADOR NA EDUCAÇÃO?

E para encerrar as apresentações dos trabalhos as colegas Juliane e Luciane falaram sobre os textos

• CIÊNCIA DA NATUREZA, MATEMÁTICA E TECNOLOGIA. AS NOVAS TECNOLOGIAS E SUA EXPRESSIVA CONTRIBUIÇÃO PARA O ENSINO DAS CIÊNCIAS NO ENSINO MÉDIO.

• CIÊNCIA DA NATUREZA, MATEMÁTICA E TECNOLOGIA. A INTERAÇÃO COMO PADRÃO COMUM ENTRE AS CIÊNCIAS DA NATUREZA E A TECNOLOGIA.
• ARTICULAÇÕES ENTRE ÁREAS DE CONHECIMENTO E TECNOLOGIA. ARTICULANDO SABERES E TRANSFORMANDO A PRÁTICA.

Apresentações...

Nesta aula tivemos a apresentação das colegas Scheila e Luany, que falaram sobre os textos

• PESQUISA, COMUNICAÇÃO E APRENDIZAGEM COM O COMPUTADOR. O PAPEL DO COMPUTADOR NO PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM.
• DESAFIOS E POSSIBILIDADES DA INTEGRAÇÃO DE TECNOLOGIAS AO CURRÍCULO.

Apresentação

No dia de hoje, houve apresentação de trabalhos pelas colegas Keity e Aline que falaram sobre o texto
AS SEREIAS DO ENSINO ELETRÓNICO que se trata das tecnologias voltando-se a EAD - Educação a Distancia.

Tambem fizeram a apresentação do trabalho o Dion e a Débora que se tratava de hipertexto, baseado nos textos: O HIPERTEXTO NO CONTEXTO EDUCACIONAL; LEITURAS SOBRE HIPERTEXTO

Apresentação

No dia 27 de abril, apresentação de trabalhos.

Explicações

A algo de estranho na curiosidade lançada na postagem anterior.

Tem toda a razão, quando ele utiliza (a-b) multiplicando (a+b) na linha (5), ele esta sendo contrária a sua suposição, pois afirmou a=b. Ou seja a-b=0 e todo numero multiplicado por 0 é 0. Em sequência ele utiliza na linha (6), dividir ambos os lados da igualdade por (a-b), uma inconsistência, pois, a-b=0.

Curiosidades Matemáticas

Vejam só, estava navegando e encontrei a seguinte curiosidade, 2=1!!!

hãm? Como assim? 2=1?

Pois é, está aqui a demonstração.
Será que se consegue demonstrar?

Ora vejamos:

Supondo que   a = b <=> (1)

                   a . a = a . b <=> (2)

                       a² = ab <=> (3)

                 a² - b² = ab-b² <=> (4)

        (a-b) (a +b) = b (a-b) <=> (5)

(a-b)(a + b)/(a-b) = b (a-b)/(a-b)<=>(6) 

                   a + b = b 
                                                                              como a = b temos

                                                                                     a + a = a <=> (7)

                                                                                    2a / a = a / a <=> (8)

                                                                                            2=1

Retirado de: http://www.professorrobson.hpg.com.br/2=1.htm

Tente justificar um possivel erro ocorrido e aguarde as novas postagens para verificar se você realmente o encontrou.

Converção de Videos, Netiquetas, Software livre e Software proprietário.

7ª Aula de Informática

Durante essa aula aprendemos a salvar e converter vídeos apartir de sites da Internet como Bender Converter, Zamzar, Online video converter.

Falamos a respeito das “Netiquetas”, que é a “etiqueta na internet”. A linguagem que deve variar de acordo com a pessoa com quem você está conversando, que letra utilizar, a importância de enviar e-mail utilizando CCO (cópia oculta) para que outras pessoas não tenham acesso aos indereços dos seus amigos e conhecidos.

Também nos foi apresentado as diferenças entre Windows e Linux, os softwares computacionais utilizados  como sistemas operacionais, tais diferenças que podemos dizer assim, muito significativas, pois, para o Sistema Windows deve-se pagar pelo uso, já o Linux é um software gratuito, podendo ser uitilizado sem precisar pagar por ele.

Ainda nessa aula a turma foi dividida em grupos e foi dado a cada grupo um tema para que fosse apresentado aos colegas nas aulas seguintes.

Paraná Digital

6ª Aula de Informática Aplicada a Educação

 

Neste dia, novamente no laboratório de informática do Colégio José de Anchielta, foi dado continuidade a explicação de utilização da TV Pendrive. Todos nós pudemos utilizar a TV e ver como funciona este aparelho. Em seguida, digitamos uma prova utilizando o Broffice como um editor de fórmulas, mas é claro, com a prfessora nos auxiliando. 

Paraná Digital

 5ª Aula de Informática Aplicada a Educação


Nesta aula  fomos ao laboratório de informática do Colégio José de Anchieta, com objetivo de ter conhecimento sobre os computadores do “Paraná Digital”, sendo que estão presentes em todas as escolas da rede estadual de ensino.

Vimos sobre softwares educacionais existentes no laboratório, aprendemos como salvar uma apresentação de slides para que ela não desconfigure ao ser vista na TV Pendrive,  e ainda a lidar com esse sistema, para não ter dificuldades ao utilizar essas tecnologias em uma aula planejada .

Pontos Positivos e Negativos do uso de Blogs e Wikis na Educação

4ª aula de Informática Aplicada Educação

   Nesta aula a Internet estava funcionando e pudemos postar nossas atividades.

    Essa atividade consistia em analisar os pontos positivos e os pontos negativos da utilização de Blogs e páginas Wikis no Ensino da Matemática. Em sequência  em dupla, fizemos a analize de um Blog (Gabriel e Fernanda) Matemática é Show e desenvolvemos uma atividade que foi colocada na Wiki de cada um, o Link abaixo encaminha para a minha página e lá há um novo Link encaminhando para a atividade.

Atividade na Wiki

Até mais e até a proxima.

Internet not found ! ! !

3ª Aula de Informática

PÃÃÃÃMMMM!!

HE, HE, HE...

Nesta aula a professora teve que "se virar" e mostrar como é que se improvisa, a internet não estava funcionando no laboratório de informática, como dependemos dela pra a maior parte de nossas aulas ficamos de mãos atadas, mas, a professora não desistiu. Nos mandou fazer uma atividade no Word para que depois pudessemos posta-la no blog e ao final da aula o sinal se estabeleceu.

Páginas Wiki na Educação Matemática

2ª aula de Informática

Vamos lá...

Escrever um pouco sobre cada aula não parece ser tão difícil, veremos com o decorrer do tempo, se será sempre atraente fazer isso hehehe. No dia 02 de março não pude participar da aula na integra. Faço parte da comissão de formatura e temos que sair das aulas para discutirmos assuntos do interesse de todos. Mas pelo pouco que participei pude aprender sobre páginas wiki e inclusive criar uma que disponibilizarei o link a todos.

Acho que é isso, logo falaremos mais sobre nossas aulas.

Página Wiki da turma

Abraço a todos.

Blogs no Ensino da Matemática

1ª aula de Informática Aplicada a Educação

Na primeira aula de Informática aplicada a Educação, Ministrada pela professora Maria Ivete, tivemos a oportunidade de aprender sobre a utilização de blogs (páginas na internet) nas aulas de matemática. Durante a aula cada um dos alunos criou um blog que utilizaremos no decorrer do ano. Faremos postagens (como esta...hehehe) e nestas obviamente falaremos muito sobre informática aplicada a Educação.\o/

Estejam atentos às proximas postagens...

O Sentido da Matemática

Estudar matemática é desafiador. Um estudante de matemática necessita de muita paciência pois são tantos cálculos, formulas, "regras" que  deve-se saber que muitas vezes torna-se cansativo, mas por outro lado satisfatório.
A Matemática é uma ciência exata, que torna-se bela em seus mais variados caminhos, tudo se encaixando de uma maneira extraordinária, e é isso que mais atrai os estudantes de Matemática. Das mais variadas formas de se resolver um problema e das várias possibilidades de se chegar a uma resposta quão mais coerente. Essa é a beleza da Matemática, e é essencial que todo estudante consiga entender esse sentido.