Galileu e a Roda de Aristóteles

No livro de Mecânica, atribuído a Aristóteles (IV séc. a.C.), vem descrito o seguinte paradoxo (dito da “roda de Aristóteles”):

  

A roda de raio OP roda sobre a recta PP’ sem escorregar. O ponto P volta a estar sobre a recta, na posição P’, ao fim de uma volta completa da roda. Entretanto, se considerarmos no interior da roda um círculo de raio OQ, menor do que OP, o círculo mais pequeno também dá uma volta completa, com a mesma velocidade angular. Ao fim dessa volta, o ponto Q ocupará a posição Q’. O segmento PP’ representa o perímetro do círculo de raio OP, e o segmento QQ’ parece representar também o perímetro do círculo de raio menor OQ. Como é isto possível?

1. Reflicta um pouco sobre esta situação, antes de ler os pontos seguintes, e tente encontrar uma explicação para a aparente contradição.

2. Herão (III séc. a.D.) (ou Heron) de Alexandria tentou dar uma explicação para este “ paradoxo”, no seu livro Mecânica. Segundo ele, quando o círculo maior roda sobre PP’, o círculo menor mantém a mesma velocidade que o maior porque tem dois movimentos; com efeito, se considerarmos o círculo pequeno simplesmente ligado ao primeiro, e não rolando, o seu centro deslocar-se-á a mesma distância PP’; ou seja, o círculo maior levará consigo o círculo pequeno ao longo da mesma distância, não tendo o rolamento do mais pequeno qualquer influência neste facto.
Reflicta sobre este comentário de Herão. Parece-lhe que ajuda a compreender melhor a questão? Porquê?

3. No tratado As duas novas ciências (sobre a dinâmica e a resistência de materiais) Galileu (1564-1642) interroga-se, no primeiro capítulo, sobre a coesão da matéria e avança uma hipótese explicativa: poderia haver na matéria, mesmo de extensão limitada, um número infinitamente grande de vazios; seriam esses vazios que manteriam os “átomos” ligados uns aos outros. Para apoio da sua argumentação, Galileu apresenta uma explicação do “paradoxo da roda”. Em vez de um círculo, imagina um polígono (por exemplo, um hexágono) a rolar, e outro hexágono mais pequeno concêntrico e solidário com o primeiro. Estuda o que acontece neste caso e depois considera que a circunferência é um polígono com um número infinito de lados. E a partir daí, chega a uma conclusão...

Tente recriar a explicação de Galileu a partir do desenho seguinte:

   

Fonte: http://www.apm.pt/apm/foco98/activ6.html

Viagem a Lua

Dobre ao meio uma folha de papel A4. Depois dobre novamente, e siga dobrando ao meio enquanto puder. Vai ficando um retângulo cada vez menor, mas de espessura cada vez maior. Com isso, em certo momento será difícil fazer a próxima dobra. A sétima dobra já é praticamente impossível. Mas imagine que você tivesse uma folha que pudesse ser dobrada sem dificuldades quantas vezes você desejasse. E se quiséssemos que esta folha dobrada alcançasse a Lua? Quantas dobras seriam necessárias para que a espessura final fosse maior que os quase 400 mil km que separam a Terra da Lua? Um milhão? Não. Bastaria dobrar 42 vezes. E com 43 dobras você teria a ida e a volta da Lua. Não acredita? Em calculadora, insira 0,1 e vá multiplicando por 2 quarenta e duas vezes. Lembre-se de converter de mm para km. Com a matemática e uma boa dose de imaginação, uma folha de papel pode levá-lo até a Lua!

Vamos Fazer as Contas...

Temos os seguintes dados:

Espessura da folha de papel: 0,1 milímetros; Distância da Terra à Lua: 384.405 km.

Você pode colocar na sua calculadora 0,1 (milímetros) e multiplicar por 2 quarenta e duas vezes. Vai obter 438.904.651.110,4 (milímetros), o que equivale a mais de 400 mil quilômetros.

Mas vamos chegar a este número efetuando menos operações. Precisamos calcular

0,1 x 2 x 2 x 2 x ... x 2 x 2

onde multiplicamos por 2 quarenta e duas vezes, isto é, queremos descobrir quanto é 0,1 x 242.

Veja:

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.

Para encontrar 210 podemos observar que

210 = 25 x 25 = 32 x 32 = 1.024.

Da mesma forma, podemos calcular 240 fazendo:

240 = 210 x 210 x 210 x 210 = 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 = 1.099.511.627.776.

Finalmente, para obter 242 basta multiplicar este último número por dois mais duas vezes:

1.099.511.627.776 x 2 x 2 = 4.389.046.511.104.

Então, multiplicando 0,1 mm por 242 obtemos 438.904.651.110,4 milímetros, o que equivale a 438.904.651,1104 metros ou, ainda, 438.904,6511104 quilômetros, mais que 400 mil quilômetros! Se dobrar uma vez mais, teremos quilômetros suficientes para ir e voltar da Lua! Incrível, não é?


Fonte: http://www.uff.br/sintoniamatematica/curiosidadesmatematicas/curiosidadesmatematicas-html/audio-lua-br.html

Sequência de Fibonacci

Fibonacci ou Leonardo de Pisa (1170-1250), um famoso matemático italiano, criou a sequência que leva seu nome a partir da observação do crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem a quantidade de casais em uma população de coelhos após n meses, partindo dos seguintes pressupostos:

1. No primeiro mês nasce somente um casal;
2. Casais amadurecem sexualmente após o segundo mês de vida;
3. Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
4. Todos os meses, cada casal dá à luz a um novo casal;
5. Os coelhos nunca morrem;

Com essas condições, inicia-se a construção da sequência:

No 1º mês há apenas 1 casal de coelhos. Como a maturidade sexual dos coelhos dá-se somente a partir do segundo mês de vida, no mês seguinte continua havendo apenas 1 casal. No 3º mês teremos o nascimento de mais um casal, totalizando 2 casais. No 4º mês, com o nascimento de mais um casal, gerado pelo casal inicial, (visto que o segundo ainda não amadureceu sexualmente ) teremos 3 casais. No mês seguinte (5º), com nascimento de dois novos casais gerados pelo casal 1 e pelo casal 2, totalizam-se 5 casais.

 Seguindo essa lógica e as condições estabelecidas previamente por Fibonacci temos a sequência:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
 

Ela representa a quantidade de casais de coelhos mês a mês. Observando com mais cuidado, pode-se perceber que qualquer termo posterior dessa sequência é obtido adicionando os dois termos anteriores. Vejamos:

O 6º termo da sequência é 8. Somando os dois termos anteriores 5+3 =8.

Assim, 89 é o termo que virá após 55, pois 34+55=89.

Dessa forma, para determinar o próximo basta fazer 89 + 55 = 144, e assim por diante.

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/sequencia-fibonacci.htm

Número de ouro

O Número de Ouro ou Razão Áurea é um número irracional misterioso e enigmático que aparece numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada, por muitos, como uma “oferta de Deus ao mundo”. 

Os gregos foram os primeiros  a estudar o Número de Ouro. Ao observarem os modelos matemáticos e as relações numéricas presentes na música, na natureza e na estética perceberam que havia um valor recorrente que garantia a harmonia nesses elementos. Assim, constataram que, ao dividir um segmento de reta, entre as várias formas de fazê-lo, a Razão Áurea parecia a mais harmoniosa.

Muitas das construções antigas eram feitas utilizando a razão áurea, como o Paternon, na Grécia e as pirâmides no Egito.

Alguns artistas como Leonardo da Vinci utilizavam a razão áurea em suas obras.

 Vários matemáticos dedicaram seu tempo ao estudo do número de ouro e da razão áurea, como Fibonacci.

 No artigo Número de Ouro podemos encontrar a história do número de ouro, bem como suas aplicações na natureza.





Fontes:
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/numeros_ouro/numeros_ouro.html

O cubo mágico pode ser resolvido em 20 movimentos - ou menos

Segundo pesquisadores que usaram os computadores da Google para fazer os cálculos (eles usaram o equivalente a 35 anos de cálculos de CPU), todas as configurações possíveis do Cubo Mágico podem ser resolvidas em 20 movimentos ou menos.

Se você não sabe, o Cubo Mágico pode ter 43,252,003,274,489,856,000 posições e cada uma delas, em teoria, poderia ser resolvida com 20 “torcidas”.

Os cientistas já chamaram o número de movimentos para resolver o Cubo Mágico de “Número Divino”. Em 1981 o boato era que o número mínimo de movimentos era 52. Em 2005, o número caiu para 28. E agora um computador consegue resolver, em 20 segundos, qualquer configuração do cubo com, no máximo, 20 movimentos.

Para os aficionados por matemática, o algorismo usado pelo computador para fazer os cálculos é incrível. Para o resto de nós, mortais, resta saber que mexemos no Cubo umas 400 vezes a mais do que o computador sem nem completar um lado inteiro.

 

No site Montar Cubo Mágico encontram-se várias dicas para montar este cubo.

Fonte: http://hypescience.com/o-cubo-magico-pode-ser-resolvido-com-20-movimentos-%e2%80%93-ou-menos/

Você sabe qual é o maior número primo já conhecido?

O maior número primo conhecido é 2^32.582.657-1, que tem 9.808.358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e sua equipe. Este primo tem 650.000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em dezembro de 2005.

Matemático resolve problema centenário e recusa US$ 1 milhão

Um gênio russo ganhou um dos maiores prêmios mundiais de matemática ao resolver um dos sete "problemas do milênio". Grigory Perelman, 40 anos, levou 10 anos para resolver a conjectura de Poincare, que descreve o formato do universo e intriga especialista há pelo menos 100 anos.

Perelman, que divide o aluguel de US$ 74 com a mãe e está desempregado desde dezembro, recusou o prêmio de US$ 1 milhão a ser entregue pelo próprio rei da Espanha e alega que não fez nada de extraordinário.

 

 

"Eu não acho que eu seja de interesse público", disse o matemático ao London Telegraph. "Eu não falo isso por causa da minha privacidade, não tenho nada a esconder. Só acho que o público não deve se interessar por mim. Jornais deveriam ter mais discernimento sobre o que publicar, deveriam ter mais requinte. Até onde eu sei, não ofereço nada que acrescente à vida dos leitores", completou.

Depois de 10 anos de trabalho, o modesto Perelman, ao invés de publicar seu achado em um importante jornal, jogou tudo em uma página da Internet, para que todos tenham acesso. "Se alguém tiver interesse na solução do problema, está tudo lá. Deixe-os pesquisar livremente."

Perelman vive recluso em São Petersburgo e mantém-se afastado da mídia. "Publiquei meus achados. É isto que ofereço ao público."




A solução do problema pode ser vista nos sites http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159, http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 e http://arxiv.org/abs/math.DG/0307245. Devido ao tráfego intenso, pode haver instabilidade no acesso aos links.


Fonte: http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI1102865-EI238,00.html

de: 22 de agosto de 2006